Superficie poliédrica es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.
Poliedros regulares son los que tienen todas las caras iguales, y son polígonos regulares,-figuras planas que tienen todos los lados y ángulos iguales. Existen sólo cinco y tienen numerosas propiedades: se pueden inscribir unos dentro de otros de diversas formas, se pueden inscribir y circunscribir en una esfera, se pueden prolongar sus aristas obteniéndose otro de ellos, etc. En la figura se observa un icosaedro regular, que es una figura de 20 caras que son polígonos regulares, con sus dos proyecciones planas idénticas en planta y alzado tras un giro de 90° y desplazamiento de una de las vistas.
http://geometria-poliedros.blogspot.com
Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.net/shared/lpxg66qqvg
Ejemplos de transformación de superficies poliédricas:
http://inscripcionpoliedrica.blogspot.com/
http://dodecaedro-regular.blogspot.com/
http://icosaedro-regular.blogspot.com/
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En la figura se puede ver la transformación entre varios poliedros, un octaedro regular se convierte en un tetraedro truncado y esté en un tetraedro regular.
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Superficies:
Poliedros regulares
Los poliedros regulares se pueden inscribir unos en otros, también se pueden inscribir y circunscribir a la esfera.
Podemos observar en el número 1 y 2 el alzado y la planta de un dodecaedro regular,
poliedro de 12 caras pentagonales regulares, en el número 3 observamos esa figura
en axonometría isométrica, en el número 40 vemos la misma figura que contiene a
un cubo inscrito y que pasa por algunos de sus vértices, en la figura número 5 podemos
observar que los tres ejes ortogonales- en color rojo- tienen el mismo tamaño,
eso quiere decir que podemos inscribir también en el dodecaedro regular un octaedro regular
- en color amarillo- tal y como aparece en la figura 6.
poliedro de 12 caras pentagonales regulares, en el número 3 observamos esa figura
en axonometría isométrica, en el número 40 vemos la misma figura que contiene a
un cubo inscrito y que pasa por algunos de sus vértices, en la figura número 5 podemos
observar que los tres ejes ortogonales- en color rojo- tienen el mismo tamaño,
eso quiere decir que podemos inscribir también en el dodecaedro regular un octaedro regular
- en color amarillo- tal y como aparece en la figura 6.
En la figura 7 y figura 8 podemos observar otra vez el alzado y la planta del
dodecaedro regular, observamos además en la figura las proyecciones en
planta y alzado del octaedro regular inscrito en la figura.
dodecaedro regular, observamos además en la figura las proyecciones en
planta y alzado del octaedro regular inscrito en la figura.
El desarrollo de una superficie es la figura plana obtenida al extenderla sobre un plano. Es como si una figura estuviera envuelta por un material fino en su superficie que se abriera a lo largo de las aristas. Al ir abriendo cada una de sus caras las doblaríamos hasta situarlas en un plano del dibujo, quedando extendido el envoltorio de la figura sobre el plano.
Al desarrollar la figura sobre un plano se obtiene el verdadero tamaño y forma de las caras.
Tipos de desarrollos:
Una figura se puede desarrollar mediante líneas paralelas como pasa con las superficies radiadas de vértice impropio, los prismas y cilindros.
Sección oblicua de cono en diédrico y desarrollo
Se puede desarrollar mediante líneas que pasan por un centro, también llamadas radiadas. Este desarrollo corresponde a superficies radiadas de punto propio como son las pirámides y los conos.
Mediante triangulaciones, esto se obtiene al dividir las caras de la superficie en formas triangulares.
Desarrollos aproximados son los que se utilizan para las superficies alabeadas y de doble curvatura, superficies que no se pueden desarrollar pero que se pueden obtener formas aproximadas de su extensión sobre el plano.
Desarrollo de esfera y ejemplo práctico
Desarrollar una superficie es extenderla sobre un plano, es coger sus caras y anexionarlas en un plano poniéndolas unidas por sus lados hasta convertirla en una figura plana, de manera que si se recortan los bordes y se doblan por los lados se puede construir en tres dimensiones.Las figuras poliédricas son todas desarrollables. En la figura vemos el desarrollo de un icosaedro regular, en el que se pueden observar sus 20 caras que son triángulos equiláteros.
Aquí observamos el desarrollo de otra superficie, el cuboctaedro rombitruncado. Esta superficie es un poliedro arquimediano, obtenido por la sección de las caras de un poliedro regular.
Diagrama de Schlegel. Si observamos una figura de cristal muy cerca de manera que todas sus aristas queden detrás de una cara, estaremos viendo la figura representada en este diagrama. Para construir figuras según este procedimiento se tiene que dar el caso de que las aristas no se corten entre sí y al mismo tiempo aparezcan todos los vértices y aristas de la figura en su representación. Este diagrama facilita que en las superficies poliédricas, el control de los vértices, de las líneas que pasan por cada vértice, de los lados, etcétera.
Prisma de base hexagonal regular recto. Un prisma es una superficie poliédrica reglada desarrollable. Si las aristas laterales que unen las bases son oblicuas respecto a ellas estaremos hablando de un prisma oblicuo, si no lo son, hablaremos de un prisma recto.
Poliedros duales como el icosaedro y el dodecaedro tienen una propiedad curiosa: si prolongamos las aristas del icosaedro regular se cortan en vértices que determinan los puntos de un dodecaedro. Recíprocamente si prolongamos las aristas del dodecaedro regular se cortan en vértices que determinar los puntos de un icosaedro. Ambas figuras, junto con el cubo en el que se pueden inscribir, tienen sus aristas relacionadas en una proporción áurea. La arista del dodecaedro más la arista del icosaedro es igual a la arista del cubo en el que están inscritos. La relación anterior además de la siguiente pone en relación a los tres elementos en la proporción áurea: la arista del cubo es a la arista del icosaedro como la del icosaedro es a la del dodecaedro, en geometría se dice que la arista del icosaedro es media proporcional entre la arista del cubo y la arista del dodecaedro.
Aquí observamos una proyección axonométrica del icosaedro al que se han prolongado sus aristas y en su intersección se generan los vértices de un dodecaedro regular. Al añadir las pirámides hemos obtenido el gran dodecaedro estrellado.Se puede obtener por tanto un poliedro estrellado al incorporar pirámides en cada una de las caras de un poliedro regular, de esta forma sobre el icosaedro con las pirámides sobre sus caras también los vértices se inscriben en un dodecaedro regular.
Al prolongar las aristas del icosaedro obtenemos el gran dodecaedro estrellado cuyos vértices forman un dodecaedro regular. En la figura planta, alzado y perfil así como 2 vistas auxiliares y una proyección axonométrica de las tres figuras.
Los deltaedros son superficies regladas desarrollables poliédricas formadas por triángulos equiláteros. Pueden tener cierta regularidad o bien ser irregulares. En este caso el deltaedro es un icosaedro regular. El tetraedro regular y el octaedro regular son otros dos poliedros regulares que también son deltaedros.
Las esferas geodésicas son superficies poliédricas adecuadas a esferas. Se pueden construir partiendo de un poliedro regular en el que se triangulan sus caras. Cada nueva triangulación del nuevo vértice que obtenemos, debe estar inscrito en la esfera, generando la superficie más homogénea posible, aunque esto a veces no sea posible teniendo que producir superficies cuyos triángulos no siempre son todos equiláteros.En la figura observamos cómo se puede transformar un poliedro arquimediano (icosaedro truncado) en una esfera geodésica, esto es, en una estructura construida con caras triangulares casi equiláteras, de manera que todos los vértices de los triángulos de la esfera equidistan del centro de la misma. Sobre cada una de las caras de la figura se construye una pirámide cuya base es la misma cara. Para saber cuál es su altura debemos pasar por el punto medio de la cara una recta que pase también por el centro de la esfera que inscribe el poliedro. Esta recta cortará a la esfera en la que está inscrito el poliedro en un punto y este es el vértice superior de la pirámide. A continuación unimos este vértice con cada uno de los vértices de la base que son los vértices del polígono regular (caras del poliedro arquimediano). De esta forma tenemos que todos los puntos de la esfera geodésica equidistan del centro y todas sus caras son triángulos casi equiláteros.
Si en vez de tomar como vértice superior de la pirámide la intersección de la esfera con la recta que pasa por el centro de la esfera y por el punto medio de cada cara cogemos un punto que queda más lejos por encima de cada cara del poliedro, obtendremos un poliedro estrellado. De esta forma tenemos que para construir un poliedro estrellado lo único que necesitamos es construir pirámides apoyadas en cada una de las caras del poliedro.
Dibujo de esferas geodésicas:
Esfera geodésica hexaédrica de frecuencia 1
Esfera geodésica hexaédrica de frecuencia 2
http://youtu.be/L9txE6QS_oM
Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 2
http://youtu.be/j1-IH6nDJ9E
Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 3
http://youtu.be/AtBK88YRGmY
Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 3 con proyecciones diédricas iguales
http://youtu.be/6RC4JfP9Eqc
Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 4.
http://youtu.be/D1ZZkYXNBys
Esfera geodésica dodecaédrica de frecuencia 1
http://youtu.be/PbGG8EF6IMc
Esfera geodésica dodecaédrica de frecuencia 2
http://youtu.be/hG35S3RSL3M
Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 2
http://youtu.be/8AtDgFxdHwk
Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 3
http://youtu.be/qQNwmCCm488
Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 4
http://youtu.be/EWmKh2wpIdc
Los poliedros arquimedianos son superficies regladas desarrollables producidas en la mayor parte de los casos por secciones de los poliedros regulares (en el dibujo, todos se pueden obtener por secciones de los poliedros regulares menos los duplicados en sentidos distintos: el cubo romo y dodecaedro romo). Tienen bastante regularidad y todas las caras de los poliedros arquimedianos son polígonos regulares.
Cortando los poliedros regulares de manera que el plano corte cada arista en tres partes (corte tipo 2, como en el dibujo) o en 2 partes (tipo 1), obtenemos los poliedros arquimedianos -quedan excluidos los romos o chatos, que en el dibujo anejo aparecen los 4 con caras pentagonales o cuadradas rodeadas de triángulos a lo largo de todas sus aristas, cada uno con su imagen especular: 
En la figura de la izquierda observamos un icosidodecaedro - con la línea de tierra de color rojo-, esa figura se obtiene del icosaedro -Con la línea de tierra en color azul- o del dodecaedro cortándolo por un corte de tipo 1, o sea, cogiendo los puntos medios de cada arista y uniendolos, de esta forma obtenemos nuevas aristas y nos sale esta figura que aparece en el centro en color verde, en la parte superior.En el borde superior derecho aparece el icosaedro en color rojo mediante una rejilla y dentro se puede observar que tiene inscrito el icosidodecaedro, como podemos observar todos los vértices de la figura verde están inscritos en los puntos medios de cada arista del icosaedro.
En el borde inferior derecho podemos observar una proyección en planta ( qué es igual al alzado si lo giramos 90 grados) en el que se ve inscrito otra vez el icosidodecaedro en el icosaedro, podemos observar al alinear los puntos medios cómo quedan perfectamente alineadas muchas aristas de la figura, por ello una forma muy fácil de dibujar esta vista es en proyecciones diédricas, si cogemos la planta y alzado del icosaedro que aparece en el centro de la figura con la línea de tierra azul podemos obtener su dibujo fácilmente.
El icosidodecaedro a partir del dodecaedro e icosaedro (4 figuras de la parte derecha superior).
El icosidodecaedro a partir del dodecaedro e icosaedro (4 figuras de la parte derecha superior).A la izda. en 3 vistas en s. diédrico.
Poliedro formado a partir del icosidodecaedro (quitando prismas a los pentagramas de sus caras).
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En la figura vemos (izda.) un rombicosidodecaedro, poliedro arquimediano que se forma al achaflanar aristas y vértices del dodecaedro regular, tal y como vemos a la derecha en planta y alzado,
con la figura inscrita dentro del dodecaedro- figuras M y N.
con la figura inscrita dentro del dodecaedro- figuras M y N.
El rombicosidodecaedro está formado por cuadrados y triángulos equiláteros y pentágonos regulares.
EEn el dibujo vemos la construcción del rombicosidodecaedro, el Pentágono central homotético del definido por los puntos uno, dos, tres, cuatro y cinco del dodecaedro tiene sus vértices alineados con el de centro A, si hacemos las líneas A5 y A4 cortarán al cuadrado amarillo de centro S que crece según la dirección de las diagonales mediante una homotecia de centro S, la intersección de esas diagonales con las líneas A4 A5 nos determinan los puntos P Q del rombicosidodecaedro, de esta manera el Pentágono inscrito de esta figura en el dodecaedro tienen los demás lados paralelos a los lados del Pentágono regular del dodecaedro regular.
En la siguiente página podemos observar la construcción del rombicosidodecaedro (p. arquimediano) a partir del truncamiento de un icosaedro:
http://transformaciondesuperficies.blogspot.com/
Página en la que se puede ver la construcción de varios poliedros arquimedianos a partir de otros más sencillos, como los regulares.
Transformación de un poliedro regular (icosaedro) en distintos poliedros arquimedianos y regreso a otro poliedro regular: el dodecaedro.
http://poliedrosarquimedianos.blogspot.com/
http://arquimedianosendiedrico.blogspot.com/
http://poliedrosregularesyarquimedianos.blogspot.com/
Aquí tenemos el ejemplo de un poliedro arquimediano generado por el truncamiento del icosaedro regular.
Es la figura que se utiliza en los balones de fútbol clásicos, se pensaba hasta no hace mucho que sin gran número de aristas tenía una gran esfericidad (86,74% de redondez), hoy en día se utilizan otros con una estructura más esférica como el rombicosidodecaedro con un 94%.
http://arquimedianosendiedrico.blogspot.com/
http://poliedrosregularesyarquimedianos.blogspot.com/
Como vemos en el vídeo superior si achaflanamos las aristas del dodecaedro y quitamos las esquinas (pirámides de los vértices) obtenemos un arquimediano cuando los polígonos de sus caras son regulares. En el dibujo se ve en el centro el corte del dodecaedro y la obtención del rombicosidodecaedro.
Poliedros duales son aquellos que a veces intercambian caras y vértices, por ejemplo el cubo tiene 8 vértices y 6 caras, igual el octaedro tiene 8 caras y 6 vértices.
A veces también se pueden construir al tomar los puntos medios de cada cara, por ejemplo en el caso del cubo si tomamos los puntos medios de cada cara obtenemos el octaedro que quedará entrado con el cubo de manera que sus vértices están sobre las caras del cubo, recíprocamente podemos coger el octaedro y los centros de sus caras triangulares son los vértices de un cubo inscrito.
Los poliedros de Catalan por ejemplo tienen una esfera inscrita ya que los centros de las caras equidistan del centro del poliedro pero sus vértices no equidistan del centro y por lo tanto no tienen esfera circunscrita. Si hacemos coincidir la esfera circunscrita al arquimediano con la inscrita del poliedro de Catalan podemos observar que el arquimediano queda inscrito dentro del dual de Catalan sin embargo la situación inversa no se da pues no hay una esfera circunscrita al de Catalan ni inscrita al arquimediano por lo tanto no es posible en este caso inscribir el poliedro de Catalan dentro del dual arquimediano.
A continuación mostramos un listado de poliedros arquimedianos y sus duales correspondientes, los de Catalan , más abajo a la izquierda observamos el listado de los poliedros regulares y su dual correspondiente, mientras que en la parte inferior derecha observamos que las de pirámides son los poliedros duales de los prismas mientras que los deltoedros son de los antiprismas.
Aquí tenemos el ejemplo de un poliedro arquimediano generado por el truncamiento del icosaedro regular.Es la figura que se utiliza en los balones de fútbol clásicos, se pensaba hasta no hace mucho que sin gran número de aristas tenía una gran esfericidad (86,74% de redondez), hoy en día se utilizan otros con una estructura más esférica como el rombicosidodecaedro con un 94%.
Los poliedros de Catalan son superficies duales de los arquimedianos. Los centros de las caras de los de Catalan son vértices de poliedros arquimedianos. Se da la peculiaridad de que estos poliedros tienen en todas sus caras polígonos iguales aunque irregulares (de lados y ángulos distintos). En la figura vemos un poliedro de Catalan (hexecontaedro pentagonal, dual del icosidodecaedro romo) en sistema diédrico.
Transformación de un poliedro regular en un poliedro de Catalan.
El poliedro anterior en sistema axonométrico.
El poliedro anterior en sistema axonométrico.
Los poliedros estrellados se pueden construir de forma general sumando pirámides a las caras de poliedros. Los más estudiados son el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro, el gran dodecaedro estrellado, y el gran icosaedro. Se pueden transformar unos en otros: el gran dodecaedro en pequeño dodecaedro estrellado y recíprocamente y el gran dodecaedro estrellado en el gran icosaedro y recíprocamente. Fueron estudiados por Kepler, Poinsont, Cauchy, etc.
En la figura observamos en sistema diédrico y en vista axonométrica un icosaedro regular al que se le han añadido pirámides sobre sus caras, obteniendo de esta forma un poliedro estrellado.Si el añadido de las pirámides es tal que los lados coinciden con la prolongación de las tres caras que están alrededor de cada una de las caras del icosaedro, se obtiene el primer estrellado del icosaedro. Lo mismo pasa con el dodecaedro y su correspondiente primer estrellado del dodecaedro.
Al cortar 2 poliedros duales por el corte de tipo 1, se obtiene siempre el mismo poliedro. En el caso del icosaedro, como es dual del dodecaedro, al cortarlo por planos que pasan por el centro de la arista (es el tipo 1, el 2 sería por un tercio de la arista) tenemos el icosidodecaedro en color rosa y definido con líneas en el dibujo (de igual forma lo obtenemos al cortar el dodecaedro).
Si de cada una de las caras pentagonales del icosidodecaedro, unimos los vértices de los pentágonos entre sí, tenemos figuras llamadas pentagramas, en el dibujo en color amarillo. Si por cada uno de los lados del pentagrama hacemos planos paralelos a cada conjunto de tres pentagramas correlativos, al quitar el prisma que determinan esos tres planos obtenemos la figura que aparece dibujada en sistema diédrico, que es un gran dodecaedro truncado por sus vértices.
Al prolongar las caras del primer estrellado del dodecaedro se obtiene el gran dodecaedro. Si en esta figura achaflanamos los vértices, obtenemos el poliedro anterior y es el que aparece ahora al final del vídeo, esto es, el gran dodecaedro truncado.
En la figura observamos la transformación de un pequeño dodecaedro estrellado en un gran dodecaedro. Primero achaflanamos los vértices de las pirámides pentagonales del dodecaedro estrellado obteniendo pentágonos y a continuación surgen pentagramas de cada pentágono de la figura, pentagramas determinados por los prismas que son en realidad la prolongación de las caras del dodecaedro. En cuanto estos pentagramas se transforman en un punto, tenemos que se han prolongado hasta el límite las caras del primer dodecaedro estrellado, obteniendo de esta forma caras que son pentágonos regulares sobre los que se asienta una estrella volumétrica, cuyos brazos sirven para la estrella adyacente.
Si cogemos un prisma y una de sus bases la giramos hasta hacer coincidir un vértice en una ortogonal del punto medio con la arista de la otra base, mediante una proyección ortogonal, obtenemos un antiprisma.
El giro debe ser tal que observando las dos caras paralelas del antiprisma en planta, ambas muestran sus vértices siempre a igual distancia unos de otros.
El antiprisma se forma al unir los vértices de dos polígonos regulares cuyo centro de ambas bases incide en un eje ortogonal, mediante rectas en zig-zag que determinan los triángulos iguales laterales de la figura.
Un antiprisma en posición oblicua en el sistema diédrico.
Poliedros compuestos son los que están formados por varios poliedros que tienen el mismo centro. En la imagen vemos dos icosaedros regulares obtenidos por un giro de uno respecto al otro sobre uno de los ejes que pasa por los vértices.http://poliedroscompuestos.blogspot.com/
Sumando pirámides a las caras de un octaedro podemos obtener un poliedro compuesto de tetraedros.
Poliedros de Johnson son aquellos que siendo convexos y sin ser regulares ni arquimedianos, están formados por caras que son polígonos regulares.
Johnson construyó todos los polígonos que entraban dentro de esta clasificación. En la imagen aparecen unos cuantos.
El dodecaedro truncado y Triaquisicosaedro son dos poliedros duales, el arquimediano se puede inscribir en el de Catalan de forma que en este último tomamos los puntos medios de las caras y los unimos.http://icosaedrotriakis.blogspot.com/
Obtención del icosaedrotriakis mediante incorporación de pirámides a las caras del icosaedro regular.
Observamos que la recíproca no es cierta y el triaquisicosaedro no se puede inscribir en el dodecaedro truncado de forma que los vértices del poliedro de Catalan estén sobre los puntos medios de las caras del arquimediano.
Aquí vemos otra vista en la que el arquimediano está inscrito en el de Catalan. El triaquisicosaedro no es otra cosa que el icosaedro con pirámides sobre sus caras, de ahí su nombre con el prefijo triakis-, denominación que designa en los poliedros de Catalan este detalle.Los poliedros de Catalan poseen una esfera inscrita y los arquimedianos circunscrita
Los poliedros de Catalan poseen una esfera inscrita pues los centros de las caras equidistan del centro del poliedro, mientras que sus vértices no equidistan del centro del poliedro por lo que no tienen esfera circunscrita, cosa que sí sucede en los arquimedianos por lo que éstos pueden inscribirse en los de Catalan. Recíprocamente no no existe esfera circunscrita al de Catalan ni inscrita en el arqimediano, por lo que no es posible inscribir el de Catalan en su dual arquimediano. Sin embargo, sí que pueden inscribirse poliedros "parecidos" (ya que las dimensiones de las aristas varían), en otros no duales y duales, como el de la derecha:
Parecido al rombododecaedro (dual del cuboctaedro) en octaedro truncado -izda.-, parecido al hexaedro tetrakis (dual del octaedro truncado) en cuboctaedro, -centro-, parecido al tetraedro triakis (dual del tetraedro truncado) en tetraedro truncado -derecha.
Cogiendo los puntos medios de las caras del cubo truncado (cuyo dual es el octaedro triakis) obtenemos otro hexaedro "tetrakis", cubo con pirámides sobre sus caras.
Vértices sobre aristas: Un octaedro regular se puede inscribir en un tetraedro regular de manera que los vértices del primero inciden en los puntos medios de las aristas del otro. Esta es otra forma de construir nuevos poliedros, a partir de los puntos medios de cada arista.
Si cogemos los puntos medios de las caras de un antiprisma y los unimos con sus vértices más cercanos, obtenemos la figura dual de un antiprisma que es el deltoedro. Es una figura utilizada en dados, ya que puede tener número de caras ilimitada y al ser homogénea y todas sus caras estar en igual disposición respecto al centro, hay las mismas posibilidades de que caiga cualquier cara en un lanzamiento del dado.
Proyección axonométrica de un deltoedro, está formado por caras en forma de Delta, trapezoides con un eje de simetría.
Aquí observamos una dipirámide, es un poliedro formado por dos pirámides unidas, dual del prisma obtenido en la unión de los vértices centrales de cada cara del prisma.
Vértices sobre caras: Otra posible inscripción de poliedros regulares: un tetraedro regular inscrito en un octaedro regular, tomando de este último los puntos medios de algunas caras (de todas tendríamos en este caso el cubo, su dual). Como los dos poliedros no son duales no cogemos todos los puntos de cada cara sino sólo algunos.Otras 2 figuras inscritas recíprocamente según el mismo procedimiento:
Algunos teoremas de geometría que son utilizados con frecuencia en el sistema diédrico:
