Son los duales de los arquimedianos, esto es, el orden de cada vértice, es igual al número de lados de la cara respectiva. Como los arquimedianos tienen todos los vértices del mismo orden, las caras de sus duales (p. de Catalan) serán todas iguales pero no serán polígonos regulares pues los arquimedianos poseen polígonos no siempre iguales en sus vértices. Pese a que sus caras no son polígonos regulares (de lados y ángulos iguales), los ángulos que forman cada par de caras son iguales en todo el poliedro (ángulos diedros).
Son convexos (sin huecos), con vértices no uniformes (en todos los vértices del poliedro no convergen el mismo número de caras y en el mismo orden) y con caras uniformes (iguales).
Se pueden inscribir en una esfera (todos sus vértices inciden en una esfera), por lo que se pueden utilizar como dados.
Dos de ellos son poliedros de aristas uniformes (cada arista reúne un mismo par de caras): el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico
Dos de ellos tienen figura isomórfica (uno es la imagen de otro frente al espejo o ante una simetría espacial): el Icositetraedro pentagonal y el Hexecontaedro pentagonal.
Diagrama de schlegel
Poliedros de Catalan. Sistema diédrico
Desarrollo de poliedros de Catalan (duales de arquimedianos):
Son poliedros duales y por tanto tienen el mismo número de aristas que los arquimedianos mientras que el número de vértices y caras los tienen intercambiados. Por ejemplo si el tetraedro truncado tiene 12 vértices y ocho caras, su dual, el tetraedro tetrakis, tiene ocho vértices y 12 caras.
Tetraedro triakis. Es la figura dual del tetraedro truncado y tiene 12 caras, ocho vértices y 18 aristas. El tetraedro truncado, que es su figura dual, tiene el mismo número de artistas, 18
Como los poliedros de Arquímedes se pueden inscribir su en una esfera de manera que todos los vértices corresponden a puntos de la misma y como los de Catalan se pueden circunscribir a una esfera de manera que la esfera queda en el interior tangente a todas las caras, ello significa que la esfera que contiene el poliedro de Arquímedes circunscribe al poliedro de Catalan, por tanto los poliedros arquimedianos se pueden inscribir en los de Catalan.
Si cogemos los puntos medios de las caras del tetraedro truncado observamos que podemos obtener una figura muy parecida, sino igual al tetraedro triakis. Para verificar si realmente es igual deberíamos medir las longitudes de los segmentos y comprobar si son idénticos.
Hexecontaedro deltoidal
Nuevas vistas de la pieza anterior. El hexecontaedro deltoidal es una figura que tiene 60 caras, 62 vértices y 120 aristas.
Hexecontaedro deltoidal y su dual, rombicosidodecaedro, si el primero tiene 60 caras y 120 aristas, su dual tiene También 120 aristas y 60 vértices, mientras que tiene 62 caras.
Como podemos observar tienen el mismo número de aristas mientras que el número de vértices y caras lo tienen intercambiado.
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Tiene 24 caras, 26 vértices y 48 aristas.
Vistas diédricas y cambio de plano
Icositetraedro deltoidal y rombicuboctaedro, dual de la pieza anterior, tiene por tanto el mismo número de aristas, mientras que vértices tiene 24 y caras 26, intercambiados por tanto.
El Dodecaedro rómbico tiene 12 caras, 14 vértices y 24 aristas.
El Dodecaedro rómbico y el dual de este poliedro -cuboctaedro- tiene las mismas aristas (24), mientras que tiene 12 vértices y 14 caras, intercambiadas como en todos los poliedros duales.
El hexaedro tetrakis tiene 24 caras, 14 vértices y 36 aristas.
Aquí vemos el poliedro hexaedro tetrakis y su dual -octaedro truncado- inscrito, el octaedro truncado dentro del hexaedro tetrakis, el primero tiene 24 caras, 14 vértices y 36 aristas, por tanto el arquimediano tiene las mismas aristas mientras que las caras y vértices intercambiados.
Esta figura (Dodecaedro disdiakis) tiene 48 caras, 26 vértices y 72 aristas.
La figura dual del dodecaedro disdiakis es el cuboctaedro truncado o rombitruncado, tiene por tanto el mismo número de aristas, 72, mientras que por vértices tiene 48 y por caras tiene 26, al contrario éstas dos últimas que él dodecaedro disdiakis.
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El triacontaedro rómbico tiene 30 caras, 32 vértices y 60 aristas.
El icosidodecaedro a partir del dodecaedro mediante corte de tipo 1- a la derecha.
Si centramos rombos en sus vértices obtenemos el triacontaedro rómbico - en el centro.
El icosaedro triakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas
Combinación del de Catalan y arquimediano, inscrito el segundo en el primero.
Como el icosaedro triakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas, el dodecaedro truncado tiene las mismas aristas (90) mientras que tiene 60 vértices y 32 caras.
El octaedro triakis tiene 24 caras, 14 vértices y 38 aristas.
Octaedro triakis y su dual -cubo truncado-, como el primero tiene 24 caras, 14 vértices y 38 aristas, el segundo (Cubo Truncado), que es su dual, tiene el mismo número de aristas (38), 24 vértices y 14 caras, recíprocamente.
El dodecaedro pentakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas, su dual, el
Icosaedro truncado tiene 32 caras (12 p y 20 h.), 60 vértices y 90 aristas.
El icosaedro truncado en el dodecaedro pentakis, también podemos ver la construcción del icosaedro truncado a partir del icosaedro, y éste inscrito en el dodecaedro.
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Construcción del icosidodecaedro a partir del dodecaedro regular:
Icosidodecaedro en triacontaedro rómbico
En la imagen el p. de Catalan Triacontaedro disdiakis de 120 caras y su dual, icosidodecaedro rombitruncado de 62 caras. Se puede ver el dodecaedro e intuir que el achaflanamiento de aristas y vértices determina el icosidodecaedro rombitruncado.
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