dodecaedro truncado y su dual icosaedro triakis
Cubo y octaedro
El Catalan no se puede centrar con el arquimediano de manera que sus vértices incidan en los centros de las caras, pero sí al revés, pues se puede hacer una esfera circunscritta al arqui. e inscrita en el Catalan
dodecaedro truncado y su dual icosaedro triakis
Rombicosidodecaedro y hexecontaedro deltoidal
arquimediano y dual
Poliedros duales
Dualidad:
Al prolongar las aristas de un icosaedro, los puntos de intersección de esas aristas son los vértices de un dodecaedro. Recíprocamente, al prolongar las del dodecaedro se generan los vértices del icosaedro.
P. de Catalan- Hexecontaedro deltoidal dual del rombicosidodecaedro
P.Catalan- Icositetraedro pentagonal-dual del Cubo romo
Arquimed. Rombicosidodecaedro-Dual del Hexecontaedro deltoidal-dodecaedro truncado o Icosaedro truncado
Algunos poliedros duales:
Octaedro truncado. Poliedro arquimediano obtenido del truncamiento de tipo 2 de un octaedro regular. Esta figura tiene 24 vértices y 36 artistas, tiene además 14 caras de las que ocho son hexágonos y seis son cuadrados.
El poliedro anterior con perfil y perspectiva axonométrica
Aquí se ve cómo se puede dibujar el octaedro truncado partiendo de un octaedro regular
Octaedro truncado con tres proyecciones en planta, alzar y perfil idénticas.
Esta figura denominada cubo romo o snub o chato, también se denomina cuboctaedro snub.
Tiene 24 vértices y 60 artistas, el número de caras es 38, está constituido por 32 triángulos y seis cuadrados.
Su dual, el icositetraedro pentagonal de 24 caras, 60 aristas y 38 vértices, con los vértices del cuboctaedro snub centrado en sus caras
Otras vistas diédricas.------------------------------------------------------------
Icosidodecaedro snub. Esta figura, denominada también dodecaedro romo, está formada por 60 vértices y 150 aristas, el número de caras es 92, constituida por 80 triángulos y 12 pentágonos
Otras vistas de la figura anterior.
El hexecontaedro pentagonal dual del icosidodecaedro snub e inscrito en él
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El icosidodecaedro tiene 30 vértices y 60 aristas, tiene además 32 caras de las que 20 son triángulos y 12 son pentágonos.
El rombicosidodecaedro tiene 60 vértices y 120 artistas, tiene además 62 caras que son 20 triángulos + 30 cuadrados más 12 pentágonos.
Rombicosidodecaedro inscrito en su dual de Catalan: hexecontaedro deltoidal
Gran Rombicosidodecaedro inscrito en dodecaedro.
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Desarrollo de poliedros de Catalan (duales de arquimedianos):
Son poliedros duales y por tanto tienen el mismo número de aristas que los arquimedianos mientras que el número de vértices y caras los tienen intercambiados. Por ejemplo si el tetraedro truncado tiene 12 vértices y ocho caras, su dual, el tetraedro tetrakis, tiene ocho vértices y 12 caras.
Tetraedro triakis. Es la figura dual del tetraedro truncado y tiene 12 caras, ocho vértices y 18 aristas. El tetraedro truncado, que es su figura dual, tiene el mismo número de artistas, 18
Como los poliedros de Arquímedes se pueden inscribir su en una esfera de manera que todos los vértices corresponden a puntos de la misma y como los de Catalan se pueden circunscribir a una esfera de manera que la esfera queda en el interior tangente a todas las caras, ello significa que la esfera que contiene el poliedro de Arquímedes circunscribe al poliedro de Catalan, por tanto los poliedros arquimedianos se pueden inscribir en los de Catalan.
Si cogemos los puntos medios de las caras del tetraedro truncado observamos que podemos obtener una figura muy parecida, sino igual al tetraedro triakis. Para verificar si realmente es igual deberíamos medir las longitudes de los segmentos y comprobar si son idénticos.
Hexecontaedro deltoidal
Nuevas vistas de la pieza anterior. El hexecontaedro deltoidal es una figura que tiene 60 caras, 62 vértices y 120 aristas.
Hexecontaedro deltoidal y su dual, rombicosidodecaedro, si el primero tiene 60 caras y 120 aristas, su dual tiene También 120 aristas y 60 vértices, mientras que tiene 62 caras.
Como podemos observar tienen el mismo número de aristas mientras que el número de vértices y caras lo tienen intercambiado.
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Tiene 24 caras, 26 vértices y 48 aristas.
Vistas diédricas y cambio de plano
Icositetraedro deltoidal y rombicuboctaedro, dual de la pieza anterior, tiene por tanto el mismo número de aristas, mientras que vértices tiene 24 y caras 26, intercambiados por tanto.
El Dodecaedro rómbico tiene 12 caras, 14 vértices y 24 aristas.
El Dodecaedro rómbico y el dual de este poliedro -cuboctaedro- tiene las mismas aristas (24), mientras que tiene 12 vértices y 14 caras, intercambiadas como en todos los poliedros duales.
El hexaedro tetrakis tiene 24 caras, 14 vértices y 36 aristas.
Aquí vemos el poliedro hexaedro tetrakis y su dual -octaedro truncado- inscrito, el octaedro truncado dentro del hexaedro tetrakis, el primero tiene 24 caras, 14 vértices y 36 aristas, por tanto el arquimediano tiene las mismas aristas mientras que las caras y vértices intercambiados.
Esta figura (Dodecaedro disdiakis) tiene 48 caras, 26 vértices y 72 aristas.
La figura dual del dodecaedro disdiakis es el cuboctaedro truncado o rombitruncado, tiene por tanto el mismo número de aristas, 72, mientras que por vértices tiene 48 y por caras tiene 26, al contrario éstas dos últimas que él dodecaedro disdiakis.
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El triacontaedro rómbico tiene 30 caras, 32 vértices y 60 aristas.
El icosidodecaedro a partir del dodecaedro mediante corte de tipo 1- a la derecha.
Si centramos rombos en sus vértices obtenemos el triacontaedro rómbico - en el centro.
El icosaedro triakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas
Combinación del de Catalan y arquimediano, inscrito el segundo en el primero.
Como el icosaedro triakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas, el dodecaedro truncado tiene las mismas aristas (90) mientras que tiene 60 vértices y 32 caras.
El octaedro triakis tiene 24 caras, 14 vértices y 38 aristas.
Octaedro triakis y su dual -cubo truncado-, como el primero tiene 24 caras, 14 vértices y 38 aristas, el segundo (Cubo Truncado), que es su dual, tiene el mismo número de aristas (38), 24 vértices y 14 caras, recíprocamente.
El dodecaedro pentakis tiene 60 caras, 32 vértices y 90 aristas, su dual, el
Icosaedro truncado tiene 32 caras (12 p y 20 h.), 60 vértices y 90 aristas.
El icosaedro truncado en el dodecaedro pentakis, también podemos ver la construcción del icosaedro truncado a partir del icosaedro, y éste inscrito en el dodecaedro.
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Construcción del icosidodecaedro a partir del dodecaedro regular:
Icosidodecaedro en triacontaedro rómbico
En la imagen el p. de Catalan Triacontaedro disdiakis de 120 caras y su dual, icosidodecaedro rombitruncado de 62 caras. Se puede ver el dodecaedro e intuir que el achaflanamiento de aristas y vértices determina el icosidodecaedro rombitruncado.
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